学习笔记：狄利克雷卷积和贝尔级数

参考文献

Dirichlet卷积和Bell级数

前置知识

定义

Dirichlet 卷积是两个数论函数（$\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{C}$ 的函数）间的一种运算，定义为

$$(f*g)(n)=\sum_{xy=n}f(x)g(y)$$

或者另一种等价的形式

$$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

性质

积性函数的 Dirichlet 卷积是积性函数

$$\begin{align} (f*g)(nm) &=\sum_{d|nm}f(d)g(\frac{nm}{d})\\ &=\sum_{d_1|n,d_2|m}f(d_1,d_2)g(\frac{nm}{d_1d_2})\\ &=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\sum_{d|m}f(d)g(\frac{m}{d})\\ &=(f*g)(n)(f*g)(m) \end{align}$$

整环性质

全体数论函数，按普通函数加法作为加法，迪利克雷卷积作为乘法构成整环